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资源类别: 素材库 > 数学素材 > 八年级数学素材
教材版本:
文件格式: WORD文档
文件大小: 504KB
地        区: 贵州
年        份: 2012
更新时间: 2012-09-02
所需积分: 3
上传用户: 历史唯物主义
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  资源简介
    贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座:第三十一讲 完全平方数和完全平方式
    设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m2,则称n是一个完全平方数(或平方数).常见的题型有:判断一个数是否是完全平方数;证明一个数不是完全平方数;关于存在性问题和其他有关问题等.最常用的性质有:
    (1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9,个位数字是2,3,7,8的数一定不是平方数;
    (2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数,个位数字为6,而十位数字为偶数的数,也一定不是完全平方数;
    (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数;
    (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式;
    (5)任何整数平方之后,只能是3n或3n+1的形式,从而知,形如3n+2的数绝不是平方数;任何整数平方之后只能是5n,5n+1,5n+4的形式,从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数;
    (6)相邻两个整数之积不是完全平方数;
    (7)如果自然数n不是完全平方数,那么它的所有正 因数的个数是偶数;如果自然数n是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是奇数;
    (8)偶数的平方一定能被4整除;奇数的平方被8除余1,且十位数字必是偶数.
    例题求解
    【例1】 n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:n+l是3个完全 平方数之和.
    思路点拨 设3n+1=m2,显然3卜m,因此,m=3k+1或m=3k+2(k是正整数).
    若rn=3k+1,则 .
    ∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2.
    若m=3k+2,则
    ∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2.
    故n+1是3个完全平方数之和.
    【例2】一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.
    思路点拨 引入参数,利用奇偶分析求解.
    设所求正整数为x,则
    x+ 100=m2 ----①
    x+168==n2 -----②
    其中m,n 都是正整数, ②—①得n2—m2 =68,即 (n—m)(n+m)=22×17.---- ③
    因n—m,n+m具有相同的奇偶性,由③知n—m,n+m都是偶数.注意到0
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