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资源类别: 教案库 > 数学教案 > 高二数学教案
教材版本:
文件格式: WORD文档
文件大小: 199KB
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年        份:
更新时间: 2009-09-25
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  资源简介
    课题:无穷等比数列各项的和(1)
    上海市朱家角中学 朱城
    教学目标:
    1.理解无穷等比数列各项和的概念,能够熟练地应用无穷等比数列各项和的公式;
    2.经历公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,感悟用有限来刻画无限的数学思想;
    3.通过等比数列各项和的公式的应用,提高数学的应用意识,并逐步养成科学严谨的学习态度,提高学习能力。
    教学重点:
    1.等比数列各项和的定义及公式的推导;
    2.等比数列各项和在一些实际问题中的应用。
    教学难点:正确理解无穷等比数列各项和的定义。
    教学过程:
    一、引入课题
    《庄周•天下篇》的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”
    (1)若记第天取得的木棒长为,求数列的通项公式;
    (2)取得的所有木棒长的和是多少?
    二、概念形成
    问题一:等于多少?
    师:这里所有取得的木棒长的和应该怎样表示?
    生:
    师:共有多少项求和?
    生:无穷多项。
    师:我们怎样把它们"加"起来?
    生:一个一个地"加"起来。
    师:可能吗?因为有无穷多项,我们永远"加"不完。因此在传统的算术加法中我们无法解决。
    师:好,这就是今天我们要研究的内容——无穷等比数列各项的和。(板书)
    师:我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么?
    生:我们已知的是数列的前项的和
    师:下面我们就探讨与“各项和”的关系?
    生:先求出这个数列的前n项和Sn,然后让n趋于"无限",求出Sn的极限。
    教师板书:
    因此:

    问题二:一般的无穷等比数列:其前项和的极限是否一定存在?若存在,极限是什么?
    1),,的极限不存在;
    2) ,
    当,的极限不存在;
    当,的极限不存在;
    当时:,所以:,
    即前项和的极限存在且等于.
    定义:我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和,并用S表示,即 ()
    三、举例应用
    例1.等边三角形的面积等于1,联结这个三角形各边的中点得到一个小的三角形,又联结三角形各边的中点得到一个更小的三角形,这样的过程无限继续下去,求所有三角形的面积和。
    解:设,其边长为,

    所有三角形所组成的数列是以1为首项,为公比的无穷等比数列.
    所以,所有三角形的面积。
    例2.正方形ABCD的边长为1,连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形;又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形;如此无限继续下去,求所有这些正方形的面积的和.
    解:设第个正方形的面积为,由条件:
    由题设,可得到:
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