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资源类别: 教案库 > 数学教案 > 高二数学教案
教材版本: 新人教版
文件格式: WORD文档
文件大小: 271KB
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更新时间: 2009-09-25
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  资源简介
    【基础知识精讲】
    抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下:


    图形
    标准
    方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
    焦点
    坐标 (,0) (- ,0) (0, ) (0,-)
    准线
    方程 x=- x= y=- y=
    范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
    对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
    顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
    离心率 e=1 e=1 e=1 e=1
    焦半径 |PF|=x0+ |PF|=-x0 |PF|=+y0 |PF|=-y0
    参数p的几何
    意义
    参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越阔.

    本节学习要求:
    1.抛物线方程的确定,先由几何性质确定抛物线的标准方程,再用待定系数法求其方程.
    2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样,利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.
    3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.
    通过学习本节内容,更进一步培养我们学习数学的兴趣,培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题,提高分析问题和解决的能力.

    【重点难点解析】
    1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大,它的离心率等于1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
    应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质,难点是几何性质的灵活应用.
    例1 已知抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点(x0,-8)到焦点的距离等于17,求抛物线方程.
    分析 设方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0)
    则 x0+=17或-x0=17
    即 x0=17-或x0=-17
    将(17-,-8)代入y2=2px
    解得 p=2或p=32
    将(-17,-8)代入y2=-2px
    解得 p=2或p=32
    ∴所求抛物线方程为y2=±4x或y2=±64x.
    例2 求抛物线y2=4x中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
    分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求,也可设点参数运用点差法求解.
    设AB是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2)AB中点M(x,y)

    得:y=1
    代入y2=4x
    得x=
    ∴轨迹方程为y=1(x>)
    例3 设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点.已知OA⊥OB,OM⊥AB于M,求点M的轨迹方程,并说明表示什么曲线.
    分析 设A(4pt21,4pt1),B(4pt22,4pt2),OA、OB的斜率分别为kOA、kOB
    则 kOA=,kOB=
    由OA⊥OB,得
    kOA·kOB==-1t1t2=-1 ①
    ∵点A在AB上,得直线AB的方程为
    y-4pt1= (x-4pt21) ②
    由OM⊥AB,得直线OM方程为
    y=-(t1+t2)x ③
    设点M(x,y),则x,y满足②③两式
    将②化为:y(t1+t2)=x+4pt1t2=x-4p ④
    由③×④得:x2+y2-4px=0
    ∵A、B是原点以外的两点
    ∴x≠0
    ∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆(去掉原点).

    【难题巧解点拨】
    例1 已知抛物线y2=2px上两点A、B,BC⊥x轴交抛物线于C,AC交x轴于E,BA延长交x轴于D,求证:O为DE中点.
    分析 只需证出D、E两点的横坐标互为相反数即可,设A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2)则
    C(2pt22,-2pt2)
    AC:y-2pt1=(x-2pt21)
    令y=0,得xD=2pt1t2
    BA:y-2pt1= (x-2pt21)
    令y=0,得xE=-2pt1t2
    ∴xD+xE=0
    即O为DE中点.
    例2 设抛物线过定点A(0,2)且以x轴为准线.
    (Ⅰ)试求抛物线顶点M的轨迹C的方程;
    (Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x≤2)上,那么当a取何值时,过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点?
    分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y),y>0,则其焦点为F(x,2y).
    据抛物线定义有
    =2
    即 +(y-1)2=1(y≠0)
    ∴抛物线顶点M的轨迹C的方程是
    +(y-1)2=1(y≠0)
    (Ⅱ)过P点的直线可设为l:y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C上,则
    消去y,得x2+4k2(x-a)2=4
    即(1+4k2)x2-8k2ax+4(k2a2-1)=0
    ∴△=16[k2(4-a2)+1]
    过点P存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k的不等式组
    有解
    ∵点P不在直线y=1(-2≤x≤2)上,∴|a|>2,4-a2<0.
    ∴上不等式组可化为
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